Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点坐标为（a_n，0）．
（Ⅰ）求a_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=

1-an+n•2n

n

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求a_n的表达式；
（Ⅱ）求出b_n=

1-an+n•2n

n

的表达式，利用分组求和和裂项法即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）xⁿ，函数在点（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，解得an=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（Ⅱ）b_n=

1-an+n•2n

n

=

1

n(n+1)

+2n=

1

n

-

1

n+1

+2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和S_n=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）+（2+2²+…+2ⁿ）
=1-

1

n+1

+

2•(1-2n)

1-2

=

n

n+1

+2n+1-2=2n+1-

n+2

n+1

．

点评：本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查了数列的概念和裂项求和及等比数列求和方法；考查运算求解的能力以及化归与转化的思想．