Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式以及前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义，利用条件，即可证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）根据{a_n+1}是等比数列，即可求{a_n}的通项公式以及前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*．
即

an+1+1

an+1

=

2an+1+1

an+1

=2，n∈N^*都成立，
又a₁+1=6≠0，
∴数列{a_n+1}是首项为6，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得a_n+1=6•2^n-1，
则a_n=6•2^n-1-1，
于是S_n=6(20+21+…+2n-1)-(1+1+…+1)=6•

1-2n

1-2

-n=6•2ⁿ-n-6．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，考查学生的计算能力．