Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＜0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数解析式可得可得

x+1＞0 1-x＞0

，由此求得函数的定义域．
（2）由f（x）的定义域关于原点对称，f（-x）=-f（x），可得函数为偶函数．
（3）由题意可得 0＜

1+x

1-x

＜1，即

x+1 x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，由此解得x的范围．

解答： 解：（1）由函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1，
可得

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由f（x）=log_a

1+x

1-x

，且定义域关于原点对称，
f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），故函数为奇函数．
（3）当a＞1时，由f（x）＜0可得 0＜

1+x

1-x

＜1，即

x+1 x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，
即

(x+1)(x-1)＜0 2x(x-1)＞0

，解得-1＜x＜0．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．