Question

以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为

x=2cosα y= 3 sinα

（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+

π

6

）=2

3

．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程．
（2）设点P（2cosα，

3

sinα），求得点P到直线l的距离d=

| 15 cos(α+β)-4 3 |

2

，tanβ=

1

2

，由此求得d的最大值．

解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+

π

6

）=2

3

，即ρ（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）=2

3

，
即

3

x-y-4

3

=0．
曲线C的参数方程为

x=2cosα y= 3 sinα

（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，
可得

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设点P（2cosα，

3

sinα）为曲线C上任意一点，
则点P到直线l的距离d=

|2 3 cosα- 3 sinα-4 3 |

3+1

=

| 15 cos(α+β)-4 3 |

2

，tanβ=

1

2

，
故当cos（α+β）=-1时，d取得最大值为

15 +4 3

2

．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题．