Question

北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85，100]之间为体质优秀；在[75，85）之间为体质良好；在[60，75）之间为体质合格；在[0，60）之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．
（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；
（ⅱ）求选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,分层抽样方法

专题：计算题,概率与统计

分析：（I）根据茎叶图可得优秀率，从而可得总体中优秀学生数；
（II）先计算按分层抽样方法，抽取的优秀学生数和良好学生数，再利用排列组合知识计算从这5名学生中选出3人的方法种数，
计算选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的选法种数及选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的选法种数，代入古典概型概率公式计算．

解答： 解：（I）由茎叶图知：体质优秀的数据有10个，
∴优秀率为

1

3

，
∴总体中优秀学生数为300×

1

3

=100；
（II）样本中体质良好的学生数为15，
∴按分层抽样方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，则抽取的优秀学生数为2，良好学生数为3；
（i）从这5名学生中选出3人，共有

C

3 5

=10种选法；
其中选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的选法有

C

1 2

×

C

2 3

+

C

2 2

×

C

1 3

=9种，
∴选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为

9

10

；
（ii）选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数有

C

2 2

×C

1 3

=3种，
∴选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率为

3

10

．

点评：本题考查了古典概型的概率计算及计数原理应用，考查了组合数计算公式，综合性较强，解题的关键是利用排列组合知识求得符合条件的基本事件个数．