在正整数数列中.由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1.第二次取2个连续偶数2.4,第三次取3个连续奇数5.7.9,第四次取4个连续偶数10.12.14.16,第五次取5个连续奇数17.19.21.23.25．按此规则一直取下去.得到一个子数列1.2.4.5.7.9.10.12.14.16.17.-．则在这个子数列中.由1开始的第15个数是 .� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第15个数是

，第2014个数是

．

考点：归纳推理

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：本题是归纳推理，要从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数和偶数构造，其中奇偶性根n的奇偶性相同，然后利用该规律解题．

解答： 解：记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…为{a_n}，
由1开始依次按如下规则取它的项：
第一次取1，
第二次取2个连续偶数2、4；
第三次取3个连续奇数5、7、9；
第四次取4个连续偶数10、12、14、16；
第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，…
可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，…
归纳得到，每一组的最后一个数依次为：1²，2²，3²，4²，…，n²，…
即第n个组最后一个数为n²．
利用1+2+3+…+n=29或1+2+3+…+n≈29，n∈N^*
得到：1+2+3+4+5+6+7+1=29
∴a₁，a₂，a₃，a₄，…a₂₉按上述分组共有8组，a₂₉是第8组的第一个数．
∵第七组最后一个数为7²=49，
由组间的差为1，得：a₂₉=49+1=50．
由于1+2+3+…+61+62+61=2014，
所以a₂₀₁₄位于第63组，倒数第三个，
因为第63组最后一个数为63²=3969，
由组内的差为2，得：a₂₀₁₄=3969-4=3965．
故答案为：25，3965．

点评：本题考查的是归纳推理，难点是发现规律（每个组的最后一个数是完全平方数），难度较大．本题还可以分组，利用组内的差为2，组间的差为1，根据所求的数的位置，统计两种差的次数，类比等差数列，求出该数的值．

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9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

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