Question

已知点A（1，-1），B（4，0），C（2，2）．平面区域D由所有满足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：设P的坐标为（x，y），由已知求出向量

AB

，

AC

的坐标，进而可得cos∠BAC值，求出sin∠BAC后要，可得区域D的面积S=

10

(a-1)×

10

(b-1)×sin∠BAC，进而根据基本不等式可得a+b≥4．

解答： 解：设P的坐标为（x，y），
∵点A（1，-1），B（4，0），C（2，2）．
∴

AB

=（3，1），

AC

=（1，3），
则cos∠BAC=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

3+3

10 • 10

=

3

5

，
故sin∠BAC=

1-cos2∠BAC

=

4

5

，
若平面区域D由所有满足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．
则区域D的面积S=

10

(a-1)×

10

(b-1)×sin∠BAC=8[ab-（a+b）+1]=8，
即ab-（a+b）=0，
即

(a+b)2

4

-(a+b)≥0，
解得a+b≥4，或a+b≤0（舍），
即a+b的最小值为4，
故答案为：4

点评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理，其中求出区域D的面积S=

10

(a-1)×

10

(b-1)×sin∠BAC，是解答的关键．