Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为

3

，D为棱AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AB₁交A₁B于点O，连接OD，由OD为△AB₁C中B₁C边上的中位线，能证明B₁C∥平面ABD．
（Ⅱ）由已知条件推导出BD⊥AC，平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BD⊥平面ACC₁A₁，从而得到∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大小．

解答： 解：（Ⅰ）连接AB₁交A₁B于点O，连接OD，
则OD为△AB₁C中B₁C边上的中位线
所以OD∥B₁C
又OD⊆平面ABD，B₁C?平面ABD，
所以B₁C∥平面ABD．
（Ⅱ）因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC
由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC₁A₁
又平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，BD⊆平面ABC
所以BD⊥平面ACC₁A₁，又AD⊆平面ACC₁A₁，A₁D⊆平面ACC₁A₁
所以AD⊥BD，A₁D⊥BD，
故∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角
由AC=2，AA1=

3

，知在Rt△A₁BA中，
tan∠A1DA=

A1A

AD

=

3

1

=

3

所以∠A1DA=

π

3

，
故所求二面角的大小为

π

3

．

点评：本题考查直线与平面平等的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．