Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值
（2）求二面角E-AB-C的余弦值
（3）O点到面ABC的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．
（2）分别求出平面EAB的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-C的余弦值．
（3）由平面ABC的法向量为

n1

=(1，1，2)，

OA

=(0，0，1)，利用向量法能求出点O到面ABC的距离．

解答： 解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系．
由题意知A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）．
∴

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)，

AB

=(2，0，-1)，
cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

，
∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为

2

5

．…（4分）
（2）设平面EAB的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

AB

知：

n

•

AB

=2x-z=0，
由

n

⊥

EB

知：

n

•

EB

=2x-y=0．
取x=1，得

n

=(1，2，2)．
设平面ABC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • AB =2x1-z1=0 n1 • AC =2y1-z1=0

，
取x₁=1，得

n1

=(1，1，2)．
则cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1+2+4

9 • 6

=

7

3 6

=

7 6

18

．
结合图形可知，二面角E-AB-C的余弦值为

7 6

18

．…（8分）
（3）由（2）知平面ABC的法向量为

n1

=(1，1，2)，

OA

=(0，0，1)，
∴点O到面ABC的距离为：
d=

| n1 • OA |

| n1 |

=

2

1+1+4

=

6

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．