Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为[2，3]，求实数a的值；
（2）若在（1）的条件下，存在实数t，使得f(

t

2

)≤m-f(-t)成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[2，3]，可得a-3=2，从而求得a的值．
（2）由题意可得，|t-5|+|2t+5|+10≤m，根据函数y=|t-5|+|2t+5|+10=

10-3t ，t≤- 5 2 t+20， - 5 2 ≤t＜5 3t+10 ，t≥5

，求得y的最小值，从而求得m的范围．

解答： 解：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，
∴

6-a≥0 a-6≤2x-a≤6-a

，
解得a-3≤x≤3．
再根据不等式f（x）≤6的解集为[2，3]，可得a-3=2，
∴a=5．
（2）∵f（x）=|2x-5|+5，f（

t

2

）≤m-f（-t），
∴|t-5|+5≤m-（|-2t-5|+5），
∴|t-5|+|2t+5|+10≤m，∵y=|t-5|+|2t+5|+10=

10-3t ，t≤- 5 2 t+20， - 5 2 ≤t＜5 3t+10 ，t≥5

，
∴y_min=

35

2

，
∴m≥

35

2

，即m的范围是[

35

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．