Question

证明：函数f（x）=

x

-

1

x

在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义或导数或函数的单调性的性质进行证明即可．

解答：解：①方法1：（定义法）
设x₁，x₂是定义域（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

-

1

x1

-

x2

+

1

x2

=(

x1

-

x2

)+

x1-x2

x1x2

=

x1-x2

x1 + x2

+

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(

1

x1 + x2

+

1

x1x2

)，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，

1

x1 + x2

+

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

x

-

1

x

在（0，+∞）上是增函数．
②方法2：（导数法）
函数f（x）=

x

-

1

x

的导数为f′(x)=

1

2 x

+

1

x2

，
∵x＞0，
∴f′(x)=

1

2 x

+

1

x2

＞0，
即函数f（x）=

x

-

1

x

在（0，+∞）上是增函数．
③法3：（函数性质法）
∵函数y=

x

在（0，+∞）上是增函数，y=-

1

x

在（0，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）=

x

-

1

x

=

x

+（-

1

x

）在（0，+∞）上也是增函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用定义法和导数法是解决函数单调性的基本方法．要求熟练掌握常见证明函数单调性的方法．