Question

已知椭圆=1,点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，Q为射线延长线上一点，且|PQ|=|PF₂|，设R为F₂Q的中点。

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+4)与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90^o时，

求k的值.

（请注意把答案填写在答题卡上）

Answer 1

解：(1) F₁(－2,0),F₂(2,0) 设R(x,y）,Q(x₁,y₁).   ∵|PQ|=|PF₂|，   

∴|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8,则(x₁+2)²+y₁²=64.------4分

又得x₁=2x+2,y₁=2y.  

∴(2x)²+(2y)²=64，   故R的轨迹方程为：x²+y²=16------------7分

(2)如右图，当∠AOB=90°时，在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此时弦心距|OC|=

又|OC|=.  由=得-----------12分