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已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减;②如果存在区间[a,b]D,使函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],那么称y=f(x),x∈D为闭函数;请解答以下问题:
(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间;
(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(3)若y=k+(k<0)是闭函数,求实数k的取值范围。
解:(1)先证y=-x3符合条件①:对于任意,且


,故y=-x3是R上的减函数,
由题意得:,则

∴a+b=0,
又b>a,
∴a=-1,b=1,即所求区间为[-1,1]。
(2)当上单调递减,在上单调递增,(证明略);
所以,函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数,从而该函数不是闭函数。
(3)易知上的增函数,符合条件①;
设函数符合条件②的区间为
,故a,b是的两个不等根,
即方程组 有两个不等非负实根;
为方程的二根,则
解得:
∴k的取值范围是
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已知y=f(x)是奇函数,且满足f(x+1)=f(x-1),当x∈(0,1)时,f(x)=log2
1
1-x
,则y=f(x)在(1,2)内是(  )
A、单调增函数,且f(x)<0
B、单调减函数,且f(x)>0
C、单调增函数,且f(x)>0
D、单调减函数,且f(x)<0

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A.单调增函数,且f(x)<0             B.单调减函数,且f(x)>0

C.单调增函数,且f(x)>0             D.单调减函数,且f(x)<0

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已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x;
[     ]
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④

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