Question

9．已知函数f（x）满足：①对于任意实数x，y都有f（x+y）+1=f（x）+f（x），且f（$\frac{1}{2}$）=0；②当x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）；
（2）用数学归纳法证明：当x∈[$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$]（n∈N^*）时，f（x）≤1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）令y=x可得f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．

解答 证明：（1）令y=x可得f（2x）+1=f（x）+f（x），
所以f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）…（3分）
（2）①当n=1时，x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，则2x∈[$\frac{1}{2}$，1]，所以f（2x）≤0
又f（2x）+1=2f（x），所以f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）≤$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$
所以当n=1时命题成立．…（7分）
②假设n=k时命题成立，即当x∈[$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，$\frac{1}{{2}^{k}}$]（k∈N^*）时，f（x）≤1-$\frac{1}{{2}^{k}}$
则当n=k+1时，x∈[$\frac{1}{{2}^{k+2}}$，$\frac{1}{{2}^{k+1}}$]，2x∈[$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，$\frac{1}{{2}^{k}}$]，则
f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$f（2x）≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
当n=k+1时命题成立．…（15分）
综上①②可知，当x∈[$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$]（n∈N^*）时，f（x）≤1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．…（16分）

点评 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．