Question

【题目】椭圆的离心率为，左焦点到直线的距离为10，圆.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上任意一点，为圆的任一直径，求的取值范围；

（3）是否存在以椭圆上点为圆心的圆，使得过圆上任意一点作圆的切线，切点为，都满足？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在；圆的方程

【解析】

（1）根据题意得到关于的方程组，进而确定椭圆方程；

（2）设，根据平面向量基本定理以及向量的数量积可得，结合椭圆上点的满足以及的取值范围求解；

（3）设圆，由于，则，两圆联立得对圆上任意点恒成立，即可求得和，求得圆的方程.

（1）由左焦点到直线的距离为10得，

又因为，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设，因为点在椭圆上，所以.

，

因为，所以，

即的取值范围是.

（3）设圆，其中，

则.

由于，则，

即，

代入，

得对圆上任意一点恒成立.

则即

经检验，满足，故存在符合条件的圆，它的方程是.