Question

【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

Answer 1

【答案】
（1）OM=ON
（2）

解：仍成立．

证明：如图2，

连接AC、BD，则

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°

∵∠MON=90°

∴∠BOM=∠CON

在△BOM和△CON中

∴△BOM≌△CON（ASA）

∴OM=ON.

（3）

解：如图3，

过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°

又∵∠C=90°

∴∠EOF=90°=∠MON

∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中

∴△MOE≌△NOF（AAS）

∴OE=OF

又∵OE⊥BC，OF⊥CD

∴点O在∠C的平分线上

∴O在移动过程中可形成线段AC．

（4）

解：O在移动过程中可形成直线AC．

【解析】（1）解：若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；

（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；
　　　　（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
　　　　（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；
　　　　（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．本题主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．