Question

设二次函数f(x)=mx²+nx+t的图象过原点，g(x)=ax³+bx-3(x＞0)，f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(0)=0，f′(-1)=-2，f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的极小值；
(3)是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：(1)由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，
则f′(0)=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，
从而n=0，m=1，
∴f(x)=x²，，
由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，得a+b-3=1，3a+b=2，
解得a=-1，b=5，
∴。
(2)，
求导数得，
∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
从而F(x)的极小值为F(1)=0．
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1，1)，而函数f(x)在点(1，1)的切线方程为y=2x-1，
下面验证都成立即可．
由得，知f(x)≥2x-1恒成立；
设h（x）=-x³+5x-3-（2x-1），即h(x)=-x³+3x-2（x＞0），
求导数得h′(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)(x＞0)，
∴h（x）在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以h（x）= -x³+5x-3-（2x-1）的最大值为h(1)=0，
所以-x³+5x-3≤2x-1恒成立，
故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=-1。