Question

已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且|AD|=2
（1）求□ABCD对角线交点E的轨迹方程．
（2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且|MN|=

8

3

2

，MN的中点到Y轴的距离为

4

3

，求椭圆的方程．
（3）与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时l的方程．

Answer 1

分析：（1）设E（x，y），D（x₀，y₀），根据ABCD是平行四边形，可得

AB

+

AD

=2

AE

，从而可得坐标之间的关系，再利用|AD|=2，我们就可以求得平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程；
（2）先根据A、B为焦点的椭圆的焦距2c=4，则c=2，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，即

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，将y=k（x+2）代入，再利用韦达定理及MN中点到y轴的距离为

4

3

，|MN|=

8

3

2

，可得k2=

9a2-64

8

，进而我们就可以求出所求椭圆方程；
（3）由（1）可知点E的轨迹是圆x²+y²=1设（x₀，y₀）是圆上的任一点，则过（x₀，y₀）点的切线方程是x₀x+y₀y=1，再分y₀≠0，y₀=0去求切线长名酒可以得出结论．

解答：解：（1）设E（x，y），D（x₀，y₀）
∵ABCD是平行四边形，∴

AB

+

AD

=2

AE

，
∴（4，0）+（x₀+2，y₀）=2（x+2，y）
∴（x₀+6，y₀）=（2x+4，2y）
∴

x0+6=2x+4 y0=2y

⇒

x0=2x-2 y0=2y

又|AD|=2，∴(x0+2)2+y02=4，
∴（2x-2+2）²+（2y）²=4
即：x²+y²=1
∴平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程为x²+y²=1
（2）设过A的直线方程为y=k（x+2）
以A、B为焦点的椭圆的焦距2c=4，则c=2
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，即

x2

a2

+

y2

a2-4

=1…（*）
将y=k（x+2）代入（*）得  

x2

a 2

+

k2(x+2)2

a2-4

=1
即 （a²+a²k²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则x1+x2=

4a2k2

4-a2-a2k2

，x1•x2=

4a2k2-a4+4a2

a2+a2k2-4

∵MN中点到Y轴的距离为

4

3

，且MN过点A，而点A在y轴的左侧，
∴MN中点也在y轴的左侧．
∴

2a2k2

a2+a2k2-4

=

4

3

，
∴a²k²=2a²-8，
∴x1+x2=

-8

3

，x1•x2=

8-a2

3

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(

8

3

)2-

4

3

(8-a2)
∵|MN|=

8

3

2

∴

1+k2

|x1-x2|=

8

3

2

∴(1+k2)(

64

9

-

32

3

+

4

3

a2)=

128

9

即 12a²+12a²k²-32k²=160
∴12a²+12（2a²-8）-32k²=160
∴k2=

9a2-64

8

∴a2•

9a2-64

8

=2a2-8，
∴9a⁴-80a²+64=0
∴（a²-8）（9a²-8）=0，
∵a＞c=2，
∴a²=8
∴b²=a²-c²=8-4=4
∴所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1
（3）由（1）可知点E的轨迹是圆x²+y²=1
设（x₀，y₀）是圆上的任一点，则过（x₀，y₀）点的切线方程是x₀x+y₀y=1
①当y₀≠0时，y=

1-x0x

y0

代入椭圆方程得：
(2x02+y02)x2-4x0x+2-32y02=0，
又x02+y02=1
∴(x02+1)x2-4x0x+32x02-30=0x1+x2=

4x0

x02+1

，x1x2=

32x02-30

x02+1

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=

1

(x02+1)2

(-128x04+8x02+120)|PQ|2=(1+(-

x0

y0

)2)(x1-x2)2=

x02+y02

y02

(x1-x2)2
=

1

1-x02

•

1

(1+x02)2

(-128x04+8x02+120)=

16x02+15

(1+x02)2

令16x02+15=t(15≤t＜31)
则|PQ|2=

t

( t+1 16 )2

=

256t

t2+2t+1

=

256

t+ 1 t +2

，
∵15≤t＜31
∴当t=15时，|PQ|²取最大值为15，|PQ|的最大值为

15

．
此时 16x02=0，x0=0，∴y₀=1，
∴直线l的方程为y=±1
②当y₀=0时，求得|PQ|=

7

＜

15

故：所求|PQ|的最大值为

15

，此时l的方程为y=±1

点评：直线与圆锥曲线的综合，通常都是直线代入圆锥曲线，利用韦达定理进行解决，求解圆锥曲线方程问题，待定系数法是常用方法．