Question

（2012•河北模拟）已知函数f（x）=x²+x-ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0．
（1）求实数a，b的值；
（II）若关于x的方程f(x)=

5

2

x+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（III）证明：对任意的正整数n＞l，不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln

n+1

2

都成立．

Answer 1

分析：（I）由已知函数求导得f′（x）根据在x=0处取得极值0列出方程即可解得a，b．
（II）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）．将方程f(x)=

5

2

x+m转化x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m=0，令H（x）=x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m，再利用导数研究其单调性，从而求出m的取值范围．
（III）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）的定义域为（-1，+∞），且f′（x）=

x(2x+3)

x+1

，利用导数与函数单调性的关系研究其单调性和最值得出x²+x≥ln（1+x），进而有对任意正整数n，取x=

1

n

，得到：

1

n-1

＞ln(n+1)-lnn，最后分别取n=2，3，…，n，得到n-1个不等关系，利用裂项求和法即可证得结论．

解答：解：（I）由已知得f′（x）=2x+1-

1

x+a

，
∵在x=0处取得极值0，∴f′（0）=0，
f′（0）=0，
解得：a=1，b=0．
（II）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）．
则方程f(x)=

5

2

x+m即x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m=0，
令H（x）=x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m，
则方程H（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，
∵H′（x）=2x-

1

x+1

-

3

2

=

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
∴当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，故H（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，2）时，H′（x）＞0，故H（x）在（1，2）上是增函数；
从而有：

H(0)=-m≥0 H(1)=- 1 2 -ln2-m＜0 H(2)=1-ln3-m≥0

，
∴-

1

2

-ln2＜m≤1-ln3．
（III）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）的定义域为（-1，+∞），
且f′（x）=

x(2x+3)

x+1

，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，故H（x）在（-1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，故H（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最小值，
∴f（x）≥f（0）=0，
故x²+x≥ln（1+x），其中当x=0时等号成立，
对任意正整数n，取x=

1

n

，得

1

n2

+

1

n

＞ln(

1

n

+1)=ln(n+1)-lnn，
∴

1

n(n-1)

+

1

n

＞ln(n+1)-lnn，
从而有：

1

n-1

＞ln(n+1)-lnn，分别取n=2，3，…，n，得到：
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln

n+1

2

故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln

n+1

2

成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．