Question

已知f(x)=4-

1

x

，若存在区间[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

因为函数y=

1

x

在(

1

3

，+∞)上为减函数，所以函数f(x)=4-

1

x

在(

1

3

，+∞)上为增函数，
因为区间[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，
由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，
则

f(a)=ma f(b)=mb

，即

4- 1 a =ma 4- 1 b =mb

．
说明方程4-

1

x

=mx有两个大于

1

3

实数根．
由4-

1

x

=mx得：m=-

1

x2

+

4

x

．
零t=

1

x

，则t∈（0，3）．
则m=-t²+4t=-（t-2）²+4．
由t∈（0，3），所以m∈（0，4]．
所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围是（0，4]．
故答案为（0，4]．