Question

4．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线l：y=x+1交抛物线C于A，B两点，求三角形AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的顶点和焦点坐标，能求出抛物线C的标准方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-4x-4=0，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线距离公式求出O（0，0）到直线y=x+1的距离d，由此能求出三角形AOB的面积．

解答 解：（1）∵抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1），
∴抛物线C的标准方程为：x²=4y．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-4x-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
|AB|=$\sqrt{（1+1）（16+16）}$=8，
O（0，0）到直线y=x+1的距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三角形AOB的面积S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．