Question

12．下列五个命题中，
①点P（-1，4）到直线3x+4y=2的距离为3．
②过点M（-3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y+8=0．
③在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B₁C与EF所成的角的大小60°
④过点（-3，0）和点（-4，$\sqrt{3}$）的直线的倾斜角是120°
⑤直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对5个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①点P（-1，4）到直线3x+4y=2的距离为$\frac{|-3+16-2|}{5}$=2.2≠3，不正确．
②过点M（-3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y+8=0或y=-$\frac{3}{5}$x，不正确．
③以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴异面直线B₁C与EF所成的角的大小60°，正确
④过点（-3，0）和点（-4，$\sqrt{3}$）的直线的斜率为-$\sqrt{3}$，倾斜角是120°，正确；
⑤直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是$\frac{|6-1|}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，正确．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断，考查直线方程，点到直线的距离公式，直线的倾斜角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．