Question

如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求证：∥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求正方体被平面所截得的几何体的体积.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析， （Ⅱ）所成二面角的余弦值为 ，（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面

      平面平面，平面平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为

x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

∴，

      设平面的法向量为

     则由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量为（0，0，2）

故；

    ∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分

（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------11分

故V_棱台

                        

     ∴V=V_正方体-V_棱台. ------------------14分