Question

在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。

（1）求点C到平面的距离；

(2)求二面角的余弦值;

(3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

(3)异面直线的距离即为MN的最小值

【解析】

试题分析：解:（1）连接AO, 因为平面ABC,所以,因为,

得,在中,

在中，则又

设点C到平面的距离为

则由得，从而……4分

(2)如图所示,分别以所在的直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0), C(0,-2,0), A₁(0.0,2),B(0,2,0), ，.

设平面的法向量,

又

由,得,

令,得,即。 

设平面的法向量, 又

由,得,令,得,即。 

所以 ，……7分

由图形观察可知，二面角为钝角，

所以二面角的余弦值是. ……9分

(3)方法1.在中,作于点E,因为,得.

因为平面ABC,所以,因为,

得,所以平面,所以,

所以平面.从而

在中,为异面直线的距离，即为MN的最小值。……14分

方法2.设向量,且

令,得,即。

所以异面直线的距离即为MN的最小值。……14分

考点：空间中点线面的位置关系

点评：解决的关键是熟练的根据空间中的线面垂直性质定理以及二面角的平面角的定义和异面直线距离的求解得到，属于基础题。