Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定义：使乘积a₁•a₂•…•a_k为正整数的k（k∈N^*）叫做“简易数”．则在[1，2012]内所有“简易数”的和为

2036

．

Answer 1

分析：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+1）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-1；最后由等比数列前n项和公式解决问题．

解答：解：a_n=log_n（n+1）=

log2(n+1)

log2n

，（n≥2，n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=1×

log23

log22

×

log24

log23

×

log25

log24

×…×

log2(k+1)

log2k

=log₂（k+1），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+1必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．
∴k∈[1，2012]内所有的“简易数”的和：
M=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）
=

2(1-210)

1-2

-10=2036，
故答案为：2036．

点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．