Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2 ．

（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）如果如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC．因为在△ABC中，AB=AC=2， ，

所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC．

因为AB∥CD，所以AC⊥CD．

又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．

因为AC∩PA=A，

所以CD⊥平面PAC．

（2）解：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），因为M是棱PD的中点，所以M（﹣1，1，1）．

所以 ，

设 =（x，y，z）为平面MAB的法向量，

则 ，

令y=1，得平面MAB的法向量 =（0，1，﹣1），

因为N是在棱AB上一点，所以设N（x，0，0）， =（﹣x，2，0）．

因为直线CN与平面MAB所成角的正弦值为 ，

设直线CN与平面MAB所成角为α，

则sinα=|cos＜ ＞|= = = ，

解得x=1，即AN=1，NB=1，所以 =1．

【解析】（1）连结AC，由勾股定理得AB⊥AC，从而AC⊥CD，由线面垂直得PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．（2）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由直线CN与平面MAB所成角的正弦值为 ，利用向量法能求出 的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．