Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（ ）
A.1
B.0
C.2
D.﹣2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，
∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），
∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[﹣（x+3）+1]=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）
=﹣f[（x+1）+1]=﹣f[﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f（0）=0，
∵当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，
∴f（3）=0，f（4）=0，
f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，
f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故选：B
【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．