Question

设f（x）=

1+ax

1-ax

且a≠1），函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）图象关于直线x-y=0对称．
（1）求函数y=g（x）的解析式及定义域；
（2）设关于x的方程loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n•(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）图象关于直线x-y=0对称，说明函数y=g（x）与函数y=f（x）互为反函数．可以根据函数y=f（x）的表达式解出x=f^-1（y），再将xy互换，可得函数y=g（x）的解析式，根据真数大于0，得出其定义域；
（2）根据（1）的表达式，可以将原方程转化为：

t

(x2-1)(7-x)

=

x+1

x-1

，在x∈[2，6]时有解．将此等式整理，得t=（x-1）²（7-x），利用求导数的方法，列表得出t关于x函数的单调性，从而得出t在x∈[2，6]时的值域，即可求出原方程有解时的t的取值范围；
（3）结合（1）的表达式得，g（k）=ln

k+1

k-1

，利用对数的基本性质将不等式左边合并化简为ln

n(n+1)

2

，当n≥2时不等式的左边恒大于0，而不难得出不等式的右边为

(1-n)(2+n)

2n•(n+1)

≤0，在n≥2时恒成立．故原不等式成立．

解答：解：（1）由题意，得函数所以由f（x）=

1+ax

1-ax

解出x，得x=loga

y+1

y-1

所以函数y=g（x）=loga

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
由

x+1

x-1

＞0，得定义域为：（-∞，-1）（1，+∞）；
（2）原方程变为：loga

t

(x2-1)(7-x)

=loga

x+1

x-1

等价于：

t

(x2-1)(7-x)

=

x+1

x-1

，x∈[2，6]
整理，得t=（x-1）²（7-x），其中2≤x≤6
求导可得：t′（x）=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t′（x）	9	+	0	-	15
t（x）	5	增	极大值32	减	25

由表格得，当x=5时函数t（x）取最大值32，当x=2时，t（x）取最小值5
因为原方程在[2，6]上有实数解，所以t的取值范围为：[5，32]；
（3）a=e，结合（1）得，g（k）=loge

k+1

k-1

=ln

k+1

k-1

所以

n

k=2

g(k)=ln

3

1

+ln

4

2

+ln

5

3

+…+ln

n-1

n-3

+ln

n

n-2

+ln

n+1

n-1

=ln(

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

n-1

n-3

×

n

n-2

×

n+1

n-1

)=ln

n(n+1)

2

原不等式等价于：ln

n(n+1)

2

＞

2-n-n2

2n•(n+1)

先看左边，在n≥2时ln

n(n+1)

2

≥ln3＞0
注意到右边为

2-n-n2

2n•(n+1)

=

(1-n)(2+n)

2n•(n+1)

≤0，在n≥2时恒成立
所以左边大于右边，
故不等式

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n•(n+1)

成立

点评：本题考查了反函数的解析式的求法、函数与方程以及不等式的证明等知识点，属于中档题．解题过程中用到了导数讨论函数的单调性和含有对数的不等式的处理，是一道综合性较强的题．