Question

如图，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=

π

6

，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为θ．
（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ） 当θ∈[

π

2

，

2π

3

]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

Answer 1

分析：解法一（向量法）：（I）以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，我们分别求出平面COD和平面AOB的法向量，根据两个向量垂直则两个向量的数量积为0，可构造关于θ的方程，代入即可得到θ的值；
（II）设二面角C-OD-B的大小为α，根据θ∈（

π

2

，

2π

3

]，cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

，我们易确定出cosα的范围，即二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．
解法二（几何法）：（I）在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，根据平面COD⊥平面AOB，由面面垂直及线面垂直的性质，结合二面角的定义，即可得到二面角B-AO-C的平面角为∠COB，进而求出θ的值；
（Ⅱ）过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角，根据θ∈[

π

2

，

2π

3

]，我们易求出cos∠CGF的取值范围．

解答：解法一：（Ⅰ） 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A （0，0，2

3

），B （0，2，0），
D （0，1，

3

），C （2sinθ，2cosθ，0）．
设

n1

=（x，y，z）为平面COD的一个法向量，
由

n1 • OD =0 overrightarrown1• OC =0

得

xsinθ+ycosθ=0 y+ 3 z=0

取z=sinθ，则

n1

=（

3

cosθ，-

3

sinθ，sinθ）．因为平面AOB的一个法向量为

n2

=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，
所以cosθ=0，即θ=

π

2

．　…（7分）
（Ⅱ） 设二面角C-OD-B的大小为α，由（Ⅰ）得当θ=

π

2

时，cosα=0；
当θ∈（

π

2

，

2π

3

]时，tanθ≤-

3

，cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3 cosθ

3+sin2θ

=-

3

4tan2θ+3

，
故-

5

5

≤cosα＜0．综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-

5

5

，0]．   （14分）
解法二：（Ⅰ）  解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，因为平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD=OD，所以BE⊥平面COD，故BE⊥CO．
又因为OC⊥AO，所以OC⊥平面AOB，故OC⊥OB．
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，所以二面角B-AO-C的平面角为∠COB，
即θ=

π

2

．             …（7分）
（Ⅱ） 解：当θ=

π

2

时，二面角C-OD-B的余弦值为0；当θ∈（

π

2

，

2π

3

]时，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，
则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角．在Rt△OCF中，CF=2 sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，GF=OF sin

π

3

=-

3

cosθ，CG=

4sin2θ+3cos2θ

，
所以cos∠CGF=

FG

CG

=-

3 cosθ

4sin2θ+3cos2θ

．因为θ∈（

π

2

，

2π

3

]，tanθ≤-

3

，
0＜cos∠CGF=

3

4tan2θ+3

≤

5

5

．余弦值的取值范围为[-

5

5

，0]．   …（14分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，其中向量的关键是建立适当的空间坐标系，将空间面面垂直关系转化为向量垂直问题，将二面角问题转化为向量夹角问题，几何法中（I）的关键是确定出二面角B-AO-C的平面角为∠COB，∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角．