Question

如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB₁⊥OB，B₁A₁∥BA；再作A₁B₂⊥OB，B₂A₂∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB₁，△A₁B₁B₂，…的面积为S₁，S₂，…求无穷数列S₁，S₂，…的和．

Answer 1

分析：首先用a，b，θ表示出AB₁和BB₁进而表示出△B₁AB，进而表示出

Sn+1

Sn

，发现数列{S_n}为等比数列，公比为(

b

a

cosθ)2根据其小于1，推断此数列为递缩等比数列．进而通过数列{S_n}的前n项和的极限求得答案．

解答：解：AB₁=bsinθ，BB₁=a-bcosθ
（对一切n≥1成立，此时视A₀B₀为AB）
∵△ABB₁∽△A₁B₁B₂∽△A₂B₂B₃∽，
S1= 

1

2

AB1BB1=

1

2

bsinθ（a-bcosθ），
∵△OAB₁∽△OA₁B₁∽△OA₂B₂…
∴

AnBn

An-1Bn-1

=

0Bn

OBn-1

= 

OAn-1cosθ

OBn-1

=

OA

OB

cosθ=

b

a

cosθ，
∴

Sn+1

Sn

=(

AnBn

An-1Bn-1

)2=(

b

a

cosθ)2，
即公比Q=(

b

a

cosθ)2．
∵θ是锐角，a≥b，
∴0＜(

b

a

cosθ)2＜1，
∴数列S₁，S₂，S₃，是无穷递缩等比数列，

lim

n→∞

(S1+S2+S3+Sn)=

S1

1-q

=

1 2 bsinθ(a-bcosθ)

1-( b a cosθ)2

=

a2bsinθ

2(a+bcosθ)

.

点评：本题主要考查了等比数列的求和问题．做题的关键是从题设的条件中归纳出等比数列．