Question

12．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量$\overrightarrow{a}$=（4，2cos2A），$\overrightarrow{b}$=（1+cosA，1）.$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=1．若a=$\sqrt{19}$，b+c=5．
（1）求角A的大小；
（2）求b、c的长．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式，由1=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4（1+cosA）+2cos2A，化为（2cosA+1）²=0，即可解出A．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，代入可得bc=6．联立解出即可．

解答 解：（1）∵1=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4（1+cosA）+2cos2A，化为（2cosA+1）²=0，
解得cosA=$-\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），
∴$A=\frac{2π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴19=（b+c）²-2bc-2bc$cos\frac{2π}{3}$，∴19=25-bc，化为bc=6．
联立$\left\{\begin{array}{l}{b+c=5}\\{bc=6}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=3，或b=3，c=2．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．