Question

5．已知点P，A，B，C，D都是直径为4的球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若PA=2，则几何体P-ABCD的体积为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球），于是可求得PC的长度，进一步可求出底面边长，从而求几何体P-ABCD的体积．

解答 解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，
则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
设ABCD是边长为a，PA⊥平面ABCD，PA=2，
∴PC²=AP²+2AB²=4+2a²=4²，
∴a²=8，
则几何体P-ABCD的体积为V=$\frac{1}{3}$×a2×PA=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．