Question

已知：椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点为F₁，F₂，直线AF₂与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的下顶点为B，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，当|BM|=|BN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定直线AF₂的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出c的值，即可求出对应的椭圆的方程；
（2）设P为弦MN中点，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0，利用|BM|=|BN|，可得BP⊥MN，由此可得k，m的关系，结合直线与椭圆有两个交点，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）圆（x-3）²+（y-1）²=3，圆心M（3，1），半径r=

3

∵A（0，1），F₂（c，0），∴直线AF₂：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0…（2分）
∵直线AF₂与圆M相切，∴

|3+c-c|

c2+1

=

3

，解得c=

2

∴a²=c²+1=3
∴椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）椭圆C的下顶点为B（0，-1）
设P为弦MN中点，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0
∵直线与椭圆有两个交点，∴△＞0即m²＜3k²+1…①…（7分）
xP=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，yP=kxP+m=

m

3k2+1

∴kBP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即：2m=3k²+1…②…（10分）
由②得k2=

2m-1

3

…③
③代入①得2m＞m²
∴0＜m＜2又k²＞0，∴m＞

1

2

故m的取值范围为

1

2

＜m＜2…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．