Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为4x-y+1=0，则求t的值
（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；
（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，令f′（0）=4，即可得到t；
（Ⅱ）求出导数，令g（x）=x³-3x²-9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，求出g（x）的导数，求得g（x）的极值，令极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到t的范围；
（Ⅲ）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ） 函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，
则f′（x）=（x³-3x²-9x+3+t）e^x，
函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=3+t，
由题意可得，3+t=4，解得，t=1；      
                                       
（Ⅱ） f′（x）=（x³-3x²-9x+3+t）e^x，
令g（x）=x³-3x²-9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，
又g′（x）=3x²-6x-9=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令g′（x）=0得x=-1或3 
且g（x）在区间（-∞，-1），（3，+∞）递增，在区间（-1，3）递减，
故问题等价于

g(-1)＞0 g(3)＜0

即有

t+8＞0 t-24＜0

，解得，-8＜t＜24；        
                 
（Ⅲ）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ'（x）=-e^-x-2x+6．
设r（x）=φ'（x）=-e^-x-2x+6，则r'（x）=e^-x-2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ'（x₀）=0．
当1≤x＜x₀时，有φ'（x）＞0，当x＞x₀时，有φ'（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间[x₀，+∞）上递减．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，φ（4）=e^-4+5＞0，
φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

点评：本题考查利用导数求切线方程、函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．