Question

（2013•嘉定区一模）设复数z=（a²-4sin²θ）+（1+2cosθ）i，其中i为虚数单位，a为实数，θ∈（0，π）．若z是方程x²-2x+5=0的一个根，且z在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a的值．

Answer 1

分析：解实系数一元二次方程求得z，得到 

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，解方程组求得 θ 和a的值．

解答：解：方程 x²-2x+5=0 的根为 x=1±2i，因为z在复平面内所对应的点在第一象限，所以 z=1+2i，
所以，

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，解得 cosθ=

1

2

，因为 θ∈（0，π），所以，θ=

π

3

．
所以，a²=1+4sin²θ=1+4×

3

4

=4，a=±2．
综上，θ=

π

3

，a=±2．

点评：本题考查实系数一元二次方程的解法，复数与复平面内对应点之间的关系，根据三角函数值求角，得到

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，是解题的关键．