Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为s_n，当n≥2，（n∈N^*），．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{n•|a_n|}的前n项和为T_n，若对任意n∈N^*，都有T_n＜C，求正整数C的最小值；
（3）证明：对一切n≥2，n∈N^*时，．

Answer 1

解：（1）由
所以a₂，a₃，…a_n成等比…（3分）
故…（4分）
（2）依题意：
两式错们相减得：
所以对一切n∈N₊有T_n＜4且T_n是递增的
又因为
所以满足条件T_n＜c的最小正整数c=4…（8分）
（3）记
一方面时
所以…（10分）
另一方面时（只有n=2时取等）
所以
=，
∴对一切n≥2，n∈N^*时，．…（12分）
分析：（1）由，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）依题意：，再由错位相减法能够求出满足条件T_n＜c的最小正整数．
（3）记．一方面，另一方面=．由此能够证明．
点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．