Question

野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架P-ABC（如图）进行野炊训练，将炊事锅看作一个点Q，用吊绳PQ将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计）．已知PC=130cm，A、B两点间距离为50

3

cm．
（1）设PQ的延长线与地面ABC的交点为O，求cos∠PCO的值；
（2）若使炊事锅Q到各条斜杆的距离都等于30cm，试求吊绳PQ的长．

Answer 1

分析：（1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO，在Rt△POC中，求出∠PCO的余弦值即可；
（2）在Rt△POC中，求出PO，作QD⊥PC交PC于D点，求出QD，最后根据PQ=

QD

sin∠QPD

可求出所求．

解答：解：（1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO，CO=50，（3分）
在Rt△POC中，cos∠PCO=

5

13

．（5分）
即cos∠PCO的值为

5

13

．（6分）
（2）在Rt△POC中，解得PO=120，作QD⊥PC交PC于D点，
由QD=30，得PQ=

QD

sin∠QPD

=

30

5 13

=78．（12分）
故吊绳PQ的长78cm．（14分）

点评：本题主要考查直线与平面所成角，以及距离的计算，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于基础题．