Question

已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，斜率等于1的直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求弦AB为圆C直径时的直线l的方程；
（2）试问原点O能否成为弦AB的中点？说明理由；
（3）若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l在y轴上的截距范围．

Answer 1

分析：（1）由弦AB为圆C的直径，得到直线l过圆心，得到C在直线l上，再由斜率为1，即可得到直线l的方程；
（2）原点O不可能成为弦AB的中点，假设原点O为弦AB的中点，得到OC垂直平分AB，可得出直线OC的斜率为-1或-2，与斜率为1矛盾，假设错误，故原点O不可能为弦AB的中点；
（3）由斜率为1设出直线l方程y=x+b，表示过C且与直线l垂直的直线方程，两方程联立，求出方程组的解，即为以AB为直径的圆心坐标D，再利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出DA²，即为以AB为直径圆的半径平方，表示出圆D的方程，原点O在圆内，得到圆心D到原点距离小于圆的半径，列出关于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范围，即为直线l在y轴上截距的范围．

解答：解：（1）由题可知：l过点C（1，-2），
∴直线l的方程为y+2=x-1，即x-y-3=0；
（2）原点O不可能成为弦AB的中点：理由为：
若原点O是弦AB的中点，则OC垂直平分弦AB，
此时直线OC的斜率为-1或-2，矛盾；
（3）可设直线l：y=x+b，
过点C（1，-2）与l垂直的直线的方程为y+2=-（x-1），即x+y+1=0，
由

y=x+b x+y+1=0

，解得：

x=- b+1 2 y= b-1 2

，即以AB为直径的圆的圆心坐标为D（-

b+1

2

，

b-1

2

），
圆心C到直线l的距离d=

|1+2+b|

2

=

|b+3|

2

，
而DA²=CA²-d²=9-

(b+3)2

2

，
以AB为直径的圆D：（x+

b+1

2

）²+（y-

b-1

2

）²=9-

(b+3)2

2

，
点O在以AB为直径的圆D内，即（

b+1

2

）²+（

b-1

2

）²＜9-

(b+3)2

2

，
解得：-4＜b＜1，
则所求直线l在y轴上的截距范围为（-4，1）．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，以及点与圆的位置关系，是一道综合性较强的试题．熟练掌握公式及定理是解本题的关键．