Question

15．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面A₁BD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．

Answer 1

分析 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面A₁BD的距离．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），A₁（a，0，a），B（a，a，0），D（0，0，a），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（a，0，a），$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），$\overrightarrow{DA}$=（a，0，0），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=ax+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax+ay=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴点A到平面A₁BD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．