Question

（1）是否存在实数a．使f（x）=在区间[2，4]上是增函数．若存在求出a
（2）已知函数f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定义域恰为区间（0，+∞），是否存在这样的a、b使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．若存在．求出a、b值．若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）存在＞1时f（x）=在区间[2，4]上是增函数证明如下：
令t=则函数变为g（t）=log_a（at²-t），又原函数在[2，4]上是增函数，故g（t）=log_a（at²-t）在[，2]上是增函数．
对于内层函数at²-t其对称轴为由复合函数的单调性判断规则知，
当a＞1时，内层函数at²-t也是增函数，故≤，即得a≥，又a×2-＞0，a＞，综合得，a＞1时函数为增函数．
当0＜a＜1时，内层函数at²-t也是减函数，故≥2，得a≤，又a×4-2＞0，得a＞此种情况下无解
综上，当a＞1时f（x）=在区间[2，4]上是增函数
（2）存在a=，b=使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．证明如下：
已知函数f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定义域恰为区间（0，+∞）
由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x为增函数，
又定义域恰为区间（0，+∞）故可得1-k=0，k=1
欲使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．
则只须a-b=1，a³-b³=4二者联立解得a=，b=
分析：（1）用换元后，先判断在[1，2]上的单调性再依据复合函数的单调性求解参数的不等式．
（2）由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x为增函数，又由定义域，可求值域，再由f（x）恰在（1，+∞）上取正值可确定f（x）的值从而求a、b
点评：考查存在性问题的转化，第一小题中转化成了不等式求参数的范围，第二小题中转化成了方程求出参数的值，这是由二者在表述上的不同所造成的，请读者仔细体会这其中的奥妙．