Question

已知f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）在闭区间[

π

16

，

3π

16

]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．

Answer 1

分析：通过同角三角函数的基本关系式，二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期公式求出函数的最小正周期．
（2）通过x∈[

π

16

，

3π

16

]，求出  4x∈[

π

4

，

3π

4

]，利用函数的单调性，求出函数的最小值，以及x的集合即可．

解答：解：f（x）=2（sin²x+cos²x）²-4sin²xcos²x+cos²2x-3
=2×1-sin²2x+cos²2x-3
=cos²2x-sin²2x-1
=cos4x-1
（1）函数的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

．
（2）x∈[

π

16

，

3π

16

]
  4x∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）=cos4x-1在[

π

16

，

3π

16

]是减函数
 当x=

3π

16

时
f（x）有最小值f（

3π

16

）=cos

3π

4

-1=-

2

2

-1，此时x的集合是{

3π

4

}

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，函数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力．