Question

设任意实数x₀＞x₁＞x₂＞x₃＞0，要使log

x0

x1

1993+log

x1

x2

1993+log

x2

x3

1993≥k•log

x0

x3

1993恒成立，则k的最大值是

9

．

Answer 1

分析：先利用换底公式进行化简，然后令a=lgx₀-lgx₁，b=lgx₁-lgx₂，c=lgx₂-lgx₃，将题目转化成不等式恒成立问题，最后利用柯西不等式求出最值即可求出所求．

解答：解：要使log

x0

x1

1993+log

x1

x2

1993+log

x2

x3

1993≥k•log

x0

x3

1993恒成立
即使

lg1993

lgx0-lgx1

+

lg1993

lgx1-lgx2

+

lg1993

lgx2-lgx3

≥k•

lg1993

lgx0-lgx3

恒成立
令a=lgx₀-lgx₁，b=lgx₁-lgx₂，c=lgx₂-lgx₃，而x₀＞x₁＞x₂＞x₃＞0
∴a＞0，b＞0，c＞0
即使得

1

a

+

1

b

+

1

c

≥k•

1

a+b+c

（a＞0，b＞0，c＞0）恒成立
即k≤（

1

a

+

1

b

+

1

c

）（a+b+c）的最小值
根据柯西不等式可知（

1

a

+

1

b

+

1

c

）（a+b+c）≥（

1

a

×

a

+

1

b

×

b

+

1

c

×

c

）²=（1+1+1）²=9
∴k的最大值是9
故答案为：9

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及柯西不等式的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．