Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD==1，现以AD 为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2。

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离。

Answer 1

解：（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点， 所以MN∥CD，且MN 由已知AB∥CD， 所以MN∥AB，且MN=AB 所以四边形ABNM为平行四边形， 所以BN∥AM 又因为BN平面BEC，且AM平面BEC，  所以AM∥平面BEC。 （2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD， 所以ED⊥平面ABCD 所以ED⊥BC 在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得 在△BCD中，BD=BC=，CD=2， 所以BD2+BC2=CD2 所以BC⊥BD 所以BC⊥平面BDE。 （3）由（2）知，BC⊥平面BDE 又因为BC平面BCE， 所以平面BDE⊥平面BEC 过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC， 所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度， 在直角三角形BDE中， 所以 所以点D到平面BEC的距离等于。