Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）证明：

a+b

2a+b

＞

c

a+c

；
（2）证明：不论x取何值总有b²x²+（b²+c²-a²）x+c²＞0；
（3）若a＞c≥2，证明：

1

a+c+1

-

1

(c+1)(a+1)

＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，要证

a+b

2a+b

＞

c

a+c

，即证（a+b）（a+c）＞（2a+b）c，再利用三角形中a+b＞c，即可证得；
（2）只需要研究对应方程的△＜0成立即可；
（3）利用作差法，再进行适当的放缩可以证明．

解答：解：（1）∵a，b，c＞0，∴要证

a+b

2a+b

＞

c

a+c

，即证（a+b）（a+c）＞（2a+b）c，
整理得：a²+ab＞ac，即证a+b＞c，而a+b＞c在三角形中显然成立，则原不等式成立；
（2）令y=b²x²+（b²+c²-a²）x+c²，由余弦定理b²+c²-a²=2bccosA，∴△=4b²c²（cos²A-1），
在三角形中，cos²A＜1，∴△0得：不论x取何值总有b²x²+（b²+c²-a²）x+c²＞0；

（3）∵a-c＞0．∴

1

a+c+1

-

1

(c+1)(a+1)

=

1

c+1

[

c+1

a+c+1

-

1

a+1

]＜

1

c+1

(

c+a-c+1

a+c+a-c+1

-

1

a+1

)=

1

c+1

-

a2

2a2+3a+1

=

1

c+1

-

1

2+( 3 a + 1 a2 )

＜

1

c+1

-

1

2

≤

1

2+1

-

1

2

=

1

6

即原不等式成立．

点评：本题主要考查不等式的证明，涉及知识、方法较多，有一定的综合性，属于中档题．