Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（1）函数的定义域是（0，+∞）

当a=-1时，f^′（x）=lnx+2
令f^′（x）=lnx+2＞0，得
令f^′（x）=lnx+2＜0，得
∴函数的单调递增区间是
函数的单调递减区间是
（2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
∴对一切x∈（0，+∞），xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
即对一切x∈（0，+∞），恒成立．
令
∵
∴当0＜x＜1时，F^′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F^′（x）＞0，函数递增．
∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=3
∴a≤3
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．
等价于证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．
由（1）知，当a=-1时f（x）=xlnx+x，
令，
当x∈（0，1）时，G^′（x）＞0，函数G（x）递增，当x∈（1，+∞）时，G^′（x）＜0，函数G（x）递减．f（x）_min＞G（x）_max
∴当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值．
∴
∵-
∴f（x）_min＞G（x）_max
∴对一切x∈（0，+∞），都有成立．
分析：（1）求出函数的导函数，当a=-1时，f^′（x）=lnx+2，令f^′（x）=lnx+2＞0，得函数的单调递增区间是，令f^′（x）=lnx+2＜0，得函数的单调递减区间是
（2）把f（x）≥g（x）恒成立转化为对一切x∈（0，+∞），恒成立，构造函数，研究F（x）的最小值；
（3）要证不等式在一个区间上恒成立，结合（1）把问题进行等价变形，研究函数f（x）的最小值和函数G（x）的最大值进行比较即可．
点评：本题主要考查了用导数研究函数的单调性和最大值，恒成立问题中用到了转化的数学思想．