Question

已知向量

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，2cosx)，设函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：直接利用向量的数量积求出函数的表达式，通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（1）利用正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间即可．
（2）结合x的范围，求出2x+

π

6

的范围，然后求出函数的值域．

解答：解：由

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，2cosx)，
f(x)=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1．
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
从而可得函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）由x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
函数的值域为：[0，3]．

点评：本题考查向量的数量积，二倍角公式两角和的正弦函数，三角函数的基本性质，考查计算能力．