Question

9．已知a_n=2^n-2，a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}前n项的和S_n=$\frac{8n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通过a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$两边取对数化简可知b_n=-2（n-2），进而c_n=$\frac{-2（n-2）}{{2}^{n-2}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=2^n-2＞0，a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$，
∴log₂a_n²=log₂（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$，
化简得：b_n=-2（n-2），
∴c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{-2（n-2）}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=-2[-1•$\frac{1}{{2}^{-1}}$+0+1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$]，
$\frac{1}{2}•$S_n=-2[-1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+0+1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]，
两式相减得：$\frac{1}{2}•$S_n=-2[-2+（$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]，
∴S_n=-4[-2+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]
=-4[-2+2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]
=$\frac{8n}{{2}^{n}}$，
故答案为：$\frac{8n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．