Question

5．已知曲线f（x）=$\frac{{{{log}_2}（x+1）}}{x+1}$（x＞0）上有一点列P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），点P_n在x轴上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=2x_n-1+1（n∈N^*），x₁=1．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）设梯形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积是S_n，求证：$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+…+$\frac{1}{{n{S_n}}}$＜4．

Answer 1

分析 1）由x_n=2x_n-1+1，从而有x_n+1=2（x_n-1+1），故可得{x_n+1}是公比为2的等比数列，进而可求数列{x_n}的通项公式；
（2）先将四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积表示为：Sn=$\frac{3n+1}{4}$，再表示 $\frac{1}{n{S}_{n}}$，进而利用放缩法可证．

解答 解：（1）由x_n=2x_n-1+1得x_n+1=2（x_n-1+1），
∵x₁=1，
∴x_n+1≠0，
故{x_n+1}是公比为2的等比数列，∴x_n=2ⁿ-1．（6分）
（2）∵yn=f（xn）=$\frac{{log}_{2}{2}^{n}-1+1）}{{2}^{n}-1+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴Q_nQ_n+1=2ⁿ，而P_nQ_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，（9分）
∴四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积为：S_n=$\frac{3n+1}{4}$，
∴$\frac{1}{n{S}_{n}}$=$\frac{4}{n（3n+1）}$=12（$\frac{1}{3n}$-$\frac{1}{3n+1}$）＜12（$\frac{1}{3n}$-$\frac{1}{3n+3}$）=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+…+$\frac{1}{{n{S_n}}}$＜4（1-$\frac{1}{n+1}$）＜4．（14分）

点评 本题考查构造法证明等比数列，从而求数列的通项公式，考查放缩法证明不等式，属于中档题．