Question

13．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x∈（0，1）时，求证：f（x）＞x²-x+1
（Ⅲ）若0＜x₁＜x₂，求证：$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜2x₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，由题意可得f（1）=1，f′（1）=0，解方程可得a，b；
（ II）令g（x）=f（x）-x²+x-1，求得导数，判断单调性，即可得证；
（ III）方法一、由（ II）的单调性，可得x∈（0，1）时，x-1＞2lnx，由0＜x₁＜x₂，可得$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，即可得证；
方法二、设φ（x）=2x₂（lnx₂-lnx）-x₂+x，（0＜x＜x₂），求出导数，判断单调性，再由不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ） $f'（x）=2ax-\frac{b}{x}，（x＞0）$，
依题意可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a=1\\ f'（1）=2a-b=0\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
（ II）∵g（x）=f（x）-x²+x-1
=（x-1）-2lnx，x∈（0，1），
∴$g'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$，
∵0＜x＜1，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）＞g（1）=0．即f（x）＞x²-x+1；
（ III）解法一：由（ II）知，x∈（0，1）时，x-1＞2lnx．
∵0＜x₁＜x₂，∴$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，
∴$\frac{x_1}{x_2}-1＞2ln\frac{x_1}{x_2}$，∴$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{x_2}＞2（ln{x_1}-ln{x_2}）$，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜2{x_2}$．
解法二：设φ（x）=2x₂（lnx₂-lnx）-x₂+x，（0＜x＜x₂）
$φ'（x）=-\frac{{2{x_2}}}{x}+1=\frac{{x-2{x_2}}}{x}$．
当x∈（0，x₂），φ′（x）＜0，
∴φ（x）在（0，x₂）上单调递减
∴φ（x）＞φ（x₂）=0，
∴x∈（0，x₂）时，2x₂（lnx₂-lnx）＞x₂-x，
∵0＜x₁＜x₂，∴2x₂（lnx₂-lnx₁）＞x₂-x₁，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜2{x_2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，同时考查不等式的性质和运用，属于中档题．