Question

16．已知直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（a，0），B（0，b）两点，且满足$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，O为坐标原点，则△ABO面积的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得ab的最小值，而△ABO面积S=$\frac{1}{2}$ab，可得答案．

解答 解：由题意可得a和b为正数且$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$，
∴$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，∴ab≥8，
∴△ABO面积S=$\frac{1}{2}$ab≥4
当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{b}$即a=4且b=2时取等号，
∴△ABO面积的最小值为：4
故答案为：4

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距，属基础题．